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哈夫曼(huffman)树和哈夫曼编码

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  此种形状的二叉树,需要的比较次数是:10000 (3×20%+2×80%)=22000次,显然:两种判别树的效率是不一样的。

  路径:若树中存在一个结点序列k1,k2,,kj,使得ki是ki+1的双亲,王中王心水论坛,则称该结点序列是从k1到kj的一条路径。

  结点的权:在许多应用中,常常将树中的结点赋予一个有意义的数,称为该结点的权。

  结点的带权路径长度:是指该结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。

  其中,n表示叶子结点的数目,wi和li分别表示叶子结点ki的权值和树根结点到叶子结点ki之间的路径长度。

  在权为w1,w2,,wn的n个叶子结点的所有二叉树中,带权路径长度WPL最小的二叉树称为赫夫曼树或最优二叉树。

  例:有4 个结点 a, b, c, d,权值分别为 7, 5, 2, 4,试构造以此 4 个结点为叶子结点的二叉树。

  1.根据给定的n个权值{w1,w2,,wn}构成二叉树集合F={T1,T2,,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点,其左右子树为空.

  2.在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和.

  在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和.

  5、包含 n 个叶子结点的哈夫曼树中共有2n 1 个结点。

  6、包含 n 棵树的森林要经过 n1 次合并才能形成哈夫曼树,共产生 n1 个新结点

  作为左右子树构造一棵新的二叉树,置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和

  哈夫曼树的应用很广,哈夫曼编码就是其在电讯通信中的应用之一。广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%~90%之间。在电讯通信业务中,通常用二进制编码来表示字母或其他字符,并用这样的编码来表示字符序列。

  例:如果需传送的电文为 ABACCDA,它只用到四种字符,用两位二进制编码便可分辨。假设 A, B, C, D 的编码分别为 00, 01,10, 11,则上述电文便为 100(共 14 位),译码员按两位进行分组译码,便可恢复原来的电文。

  实际应用中各字符的出现频度不相同,用短(长)编码表示频率大(小)的字符,使得编码序列的总长度最小,使所需总空间量最少

  要求任一字符的编码都不能是另一字符编码的前缀,这种编码称为前缀编码(其实是非前缀码)。在编码过程要考虑两个问题,数据的最小冗余编码问题,译码的惟一性问题,利用最优二叉树可以很好地解决上述两个问题

  以电文中的字符作为叶子结点构造二叉树。然后将二叉树中结点引向其左孩子的分支标 0,引向其右孩子的分支标 1; 每个字符的编码即为从根到每个叶子的路径上得到的 0, 1 序列。如此得到的即为二进制前缀编码。

  假设各个字符在电文中出现的次数(或频率)为 wi ,其编码长度为 li,电文中只有 n 种字符,则电文编码总长为:

  由于哈夫曼树中没有度为1的结点,则一棵有n个叶子的哈夫曼树共有2×n-1个结点,可以用一个大小为2×n-1 的一维数组存放哈夫曼树的各个结点。 由于每个结点同时还包含其双亲信息和孩子结点的信息,所以构成一个静态三叉链表。